近日，理學院胡勝龍教授與中國科學院葉科副研究員合作，在運籌學頂級期刊Mathematical Programming刊發60頁的研究長文“Linear convergence of an alternating polar decomposition method for low rank orthogonal tensor approximations”，介紹了其在張量低秩逼近方面的最新研究成果。
這是我校教師首次以第一作者并以杭州電子科技大學為第一作者單位在該期刊發表論文。該論文刻畫了張量低秩正交逼近問題穩定點的非退化性，進而證明了經典交替極分解方法的大范圍線性收斂性，成功解決了這個近二十年的公開問題。
在一個聚會上，如何通過記錄的混合音頻分離出每個人的發言？這是一個典型的盲源信號分離問題，是一個復雜的逆問題。盲源信號分離是一個在眾多領域發揮關鍵作用的基本問題。對這個逆問題，目前僅有張量低秩正交逼近的方法具有求得真實解的理論保證。
信號分離的獲取（或相應張量低秩逼近問題的求解）一般通過數值計算的方法實現。該數值算法的全局收斂性和收斂率是其重要的特征。全局收斂性意味著該算法能不能成功計算出所需要的結果；收斂率則決定著什么時候能算出結果，這在工程應用中至關重要。高階收斂的算法往往跑得快、算得準。獲得較高階收斂率（如線性、超線性、二次等）的算法往往會讓一件事情從“今生難見”變成“立等可取”。
張量低秩逼近被廣泛應用于機器學習、信號處理、獨立成分分析、數據挖掘、隱變量分析、高維數據降維處理等領域。在過去的20年里，為了求解該問題，人們提出了各種數值算法，其中基于交替優化的APD方法是被最為廣泛使用的高效算法。但是，能不能算得出、算得快、算得準的問題沒有理論保證，成為一大難題。本研究證明了該算法的全局收斂性和大范圍線性收斂率，從而解決了上述難題，提供了理論基礎。
該研究從投影角度出發，通過研究低秩正交張量集的代數幾何與微分幾何性質，巧妙結合極分解的誤差界理論和梯度流收斂性分析，證明了算法的全局收斂性和大范圍線性收斂率。
數學規劃（Mathematical Programming，Series A）是運籌學頂級期刊，國際數學優化（Mathematical Optimization Society）旗艦期刊，每年刊文140篇左右。自2017年以來，有中國學者署名的論文總計72篇（含在線發表），其中署名均為大陸學者的論文僅有8篇。
